Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，．過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，問直線是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線存在，且直線的斜率的取值范圍是．

【解析】

（1）由題意，，解方程組即可；

（2）分直線垂直于軸和直線不垂直于軸兩種情況討論，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，易得，，，不符合題意；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入的坐標(biāo)表示中，即可得到關(guān)于的不等式，解不等式即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為．

在中，令，得，解得．

由垂徑長（即過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，

得，

所以．①

因?yàn)橹本�與橢圓相切，則．②

將②代入①，得．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)點(diǎn)，．

易知點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為．

聯(lián)立，得，

則恒成立．

所以，，

．

因?yàn)?/span>，

所以，即．

即，

得，得，

即，解得．

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，，，，

此時(shí)，，不符合題意，故舍去．

綜上，直線存在，且直線的斜率的取值范圍是．