已知橢圓C的兩個焦點是)和，并且經過點，拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（2）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求的最小值．
（1）橢圓C的標準方程為，拋物線E的標準方程為．（2）有最小值為16．

試題分析：（1）由于橢圓上任意一點到焦點的距離都等于,所以，
，由此即得橢圓的標準方程．橢圓右頂點F的坐標為(1，0)，所以拋物線E的標準方程為．（2）設，，，，則 
.再設l1的方程：，l2的方程，用韋達定理將上式表示為即可求得其最小值.
試題解析：（1）設橢圓的標準方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴，
∴橢圓C的標準方程為．         4分
∴右頂點F的坐標為(1，0)．
設拋物線E的標準方程為，∴ ，
∴拋物線E的標準方程為．      6分
（2）設l1的方程：，l2的方程，
，，，，
由消去y得：，
∴．
由消去y得：，
∴     9分
∴





．
當且僅當即時，有最小值16．  13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足APQ=BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經過一定點？如果經過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且PT的最小值為(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＝1(a>b>0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且＋5＝0.
 
(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點D(1，0)為線段OF2的中點，M為橢圓E上的動點(異于點A、B)，連結MF1并延長交橢圓E于點N，連結MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2，試問是否存在常數(shù)λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足PF1＝2PF2，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓,是橢圓長軸的一個端點,是橢圓短軸的一個端點,為橢圓的一個焦點.若,則該橢圓的離心率為 （　　）
A．B．
C．D．

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