Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M∈C，以M為圓心的圓M與l，相切于點(diǎn)Q，Q的縱坐標(biāo)為

3

p，E（5，0）是圓M與x軸除F外的另一個(gè)交點(diǎn)
（Ⅰ）求拋物線C與圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線n：y=k（x-1）（k＞0），n與C交于A，B兩點(diǎn)，n與l交于點(diǎn)D，且|FA|=|FD|，求△ABQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義，結(jié)合M∈C，確定M的坐標(biāo)，根據(jù)M是線段EF垂直平分線上的點(diǎn)，建立方程，即可求拋物線C與圓M的方程：
（Ⅱ）根據(jù)|FA|=|FD|，求出直線n的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|AB|，Q到直線n的距離，即可求△ABQ的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線的定義知，圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F（

p

2

，0），Q（-

p

2

，

3

p），點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

3

p，
∵M(jìn)∈C，∴M（

3

2

p，

3

p），|MF|=2p，
由題意，M是線段EF垂直平分線上的點(diǎn)，
∴

3

2

p=

p 2 +5

2

，
∴p=2，
∴拋物線C：y²=4x，圓M的方程：(x-3)2+(y-2

3

)2=16；
（Ⅱ）由

y=k(x-1) x=-1

，可得y=-2k，∴D（-1，-2）．
直線n：y=k（x-1）代入拋物線方程，整理可得ky²-4y-4k=0（k＞0），
∴y=

2±2 1+k2

k

，
∵|FA|=|FD|，∴

2+2 1+k2

k

=2k，
∴k=

3

，
∴A（3，2

3

），B（

1

3

，

2 3

3

），直線n：y=

3

（x-1），Q（-1，2

3

），
則|AB|=

16

3

，Q到直線n的距離為d=2

3

，
∴△ABQ的面積S=

1

2

|AB|d=

16 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查拋物線與圓的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．