Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，函數在是否存在零點？如果存在，求出零點；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不存在零點.

【解析】

（1）先求導數，再根據導函數零點分類討論，根據導函數符號確定單調性，（2）先利用導數求在上最大值，再構造函數，利用導數證得，化簡證得，從而確定在不存在零點.

（1）函數的定義域為，

（一）當時，時，，單調遞增；

時，，單調遞減.

（二）時，方程有兩解或1

①當時，

時，，在，上單調遞減.

時，，單調遞增.

②當時，令，得或

（i）當時，時恒成立，在上單調遞增；

（ii）當時，.

時，，在、上單調遞增.

時，，單調遞減.

（iii）當時，

時，，在，單調遞增.

時，，單調遞減.

綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；

當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；

當時，在上單調遞增；

當時，的單調遞增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為；

當時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.

（2）由（1）可知當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，在處取得極大值也是最大值.

令，則，令得，

當，，當，，

所以在定義域上先增后減，在處取最大值0，所以，，

所以，，，所以

即，

又，所以函數在不存在零點.