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如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，．
（1）證明：平面平面；
（2 ）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

（1）證明：平面平面；
（2）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

（1）證明詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）根據直線與平面垂直的性質可得,而已知，由直線與平面垂直的判定定理可得面，根據平面與平面垂直的判定定理可得平面平面；
(2) 過P做PP1//A1B1交A1C1的中點于P1,由（1）可知P1A1,連接P1B,則為二面角的平面角， 解可得cos的值.
試題解析：證明：（1）由題意得：面，
∴,                2分
又，
∴面，                                  3分
∵面， ∴平面平面；         5分
（2）解法1：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則

因為P為棱的中點，故易求得．              6分

設平面的法向量為
則得 
令，則              8分
而平面的法向量         9分
則            11分
由圖可知二面角為銳角，
故二面角的平面角的余弦值是 .     12分
解法2：過P做PP1//A1B1交A1C1的中點于P1,由（1）可知P1A1,連接P1B,則為二面角的平面角，               8分
 
在中，，，
故二面角的平面角的余弦值是     12分 
考點：1.直線與平面垂直的性質；2.平面與平面垂直的判斷和性質；3.二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2011•山東）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．
（1）證明：AA1⊥BD；
（2）證明：CC1∥平面A1BD．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，，
為中點，上一點，且.
（1）當時，求證：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點是母線的中點，是底面圓的直徑，底面半徑與母線所成的角的大小等于．

（1）當時，求異面直線與所成的角；
（2）當三棱錐的體積最大時，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點.

（1）求證：平面；
（2）若以為坐標原點，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，已經計算得是平面的法向量，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點.

（1）求證：平面平面EBD；
（2）若PA=AB=2，求三棱錐P-EBD的高.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,點E為AB的中點,

(1).求證:D1E⊥A1D;
(2).在線段AB上是否存在點M，使二面角D1-MC-D的大小為？，若存在,求出AM的長，若不存在，說明理由

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：

（1）求兩點間的距離；
（2）證明：平面；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形.求證：平面B1AC∥平面DC1A1.

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