Question

若函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x），有以下命題：
①函數(shù)f（x）可以為一次函數(shù)；      
②函數(shù)f（x）的最小正周期一定為6；
③若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f（1）=0，則在區(qū)間[-5，5]上至少有11個零點；
④若ω、φ∈R且ω≠0，則當且僅當ω=2kπ+

π

3

（k∈Z）時，函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）滿足已知條件．
其中錯誤的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①假設函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），推出來a=b=0，故f（x）不是一次函數(shù)；      
②由周期的定義得到函數(shù)的最小正周期一定為6；
③利用函數(shù)奇偶性和周期性，則在區(qū)間[-5，5]上只有f（0）=f（±1）=f（±3）=f（±4）=0；
④反例驗證④錯誤．

解答：解：①設f（x）=ax+b（a≠0），
則f（x+2）=a（x+2）+b=ax+（2a+b），
f（x+1）-f（x）=[a（x+1）+b]-（ax+b）=a，
由f（x+2）=f（x+1）-f（x）得ax+（2a+b）=a，
∴a=b=0，
∴f（x）不是一次函數(shù)，故①錯誤；      
②∵f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）
=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）
=-f（x+3）
即f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），
∴最小正周期一定為6，故②正確；
③∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f（1）=0，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）=0，
又由f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）
=f（x+1）-f（x）-f（x+1）
=-f（x）
∴f（-3）=f（3）=0，f（-4）=f（4）=0，故③錯誤；
④當f（x）=sin

πx

3

時，
f（x+2）=sin

π

3

（x+2）=sin（

2π

3

+

π

3

x）
=-

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x
f（x+1）-f（x）=sin

π

3

（x+1）-sin

π

3

x=sin（

π

3

x+

π

3

）-sin

π

3

x
=

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x-sin

π

3

x
=-

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x
也符合f（x+2）=f（x+1）-f（x），故④錯誤．
故選：B

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調性，周期性和對稱性，綜合性很強，應分清思路，耐心解決．