Question

已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的零點；
（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區(qū)間內(nèi)，另一個在區(qū)間外，
求的取值范圍；
（3）已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

（1）① 當(dāng)時，函數(shù)有1個零點：    ② 當(dāng)時，函數(shù)有2個零點：  ③ 當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點：  ④ 當(dāng)時，函數(shù)有三個零點：（2）（3）探究詳見解析.

解析試題分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表達式，在分類求出g（x）=0的解即可.
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，，對其分母構(gòu)造函數(shù)，則=0由有一根在內(nèi)，另一個在區(qū)間外，可得,即,解出a即可.
（3）由（2）可知存在 ，結(jié)合已知條件，可得函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 所 的分子的值小于等于0，其相應(yīng)的判別式小于等于0，在結(jié)合已知可證得即可.
試題解析：（1），

① 當(dāng)時，函數(shù)有1個零點：                1分
② 當(dāng)時，函數(shù)有2個零點：           2分
③ 當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點：            3分
④ 當(dāng)時，函數(shù)有三個零點：
                      4分
（2）      5分
設(shè)，的圖像是開口向下的拋物線.
由題意對任意有兩個不等實數(shù)根，
且
則對任意,即,         7分
又任意關(guān)于遞增,,
故
所以的取值范圍是                             9分
（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù),                10分
從而即     11分
所以
由知                           13分
即對任意<