Question

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到y(tǒng)=cosx圖象；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得f（x）的解析式．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
（3）令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）由函數(shù)的圖象可得A=2，

1

4

•

2π

ω

=

π

3

-

π

12

，求得ω=2．
再根把點(diǎn)（

π

3

，0）代入函數(shù)的解析式可得 cos（2×

π

3

+φ）=0，可得

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即φ=kπ-

π

6

．
再根據(jù)|φ|＜

π

2

，求得φ=-

π

6

，∴f（x）=2cos（2x-

π

6

）．
（2）y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，可得到y(tǒng)=2cos[2（x+

π

12

）-

π

6

]=2cos2x的圖象；
再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得函數(shù)y=2cosx 的圖象；
再把所得圖象的橫縱標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍，可得函數(shù)y=cosx 的圖象．
（3）令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，k∈z，求得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．