【題目】如圖，已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的一個焦點為，是橢圓上一點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的上下頂點分別為，，是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點.

①求證：；

②若的面積為，求的值；

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

(1)設橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個點,即可求出橢圓方程;

(2)根據(jù)題意,求出直線AB的方程、點M,C,N的坐標,計算,可得,再利用,結合橢圓方程,求解可得結果.

（1）設橢圓方程為，

由題意，得.因為，所以.

又是橢圓上的一個點，所以，

解得或(舍去)，

所以橢圓的標準方程為.

（2）①解：因為，，則，且.

因為為線段中點，所以.

又，所以直線的方程為.

因為，∴

令，得，

又，為線段的中點，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因為，

所以在中，，

因此，從而有，

解得.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與橢圓交于、兩點.在軸上是否存在點，使得且，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與函數(shù)（）的圖象相交，將其中三個相鄰交點從左到右依次記為A，B，C，且滿足有下列結論：

①n的值可能為2

②當，且時，的圖象可能關于直線對稱

③當時，有且僅有一個實數(shù)ω，使得在上單調遞增；

④不等式恒成立

其中所有正確結論的編號為（ ）

A.③B.①②C.②④D.③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圖（a）、圖（b）是邊長為的兩塊正方形鋼板，現(xiàn)要將圖（a）裁剪焊接成一個正四棱柱，將圖（b）裁剪焊接成一個正四棱錐，使它們的全面積都等于這個正方形的面積（不計焊接縫的面積）．

（1）將裁剪方法用虛線標示在圖中，并作簡要說明；

（2）比較所制成的正四棱柱和正四棱錐體積大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直三棱柱，，，，分別為，，的中點，且．

（1）求證：平面；

（2）求；

（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx+φ)（ω＞0，|φ|），y＝f(x)的圖象關于直線x對稱，且與x軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)的導函數(shù)的一個單調減區(qū)間為（ ）

A.[，]B.[，]C.[，]D.[，]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，為圓的直徑，點，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面互相垂直，已知，，

（1）求證：平面平面

（2）若幾何體和幾何體的體積分別為和，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，由經過伸縮變換得到曲線，以原點為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；

（2）若直線的極坐標方程為，與曲線、曲線在第一象限交于、，且，點的極坐標為，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】焦點在x軸上的橢圓C：經過點，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點M為的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

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