Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=b-sinx，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，對(duì)任意x₁∈R，存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若F（x）≥sin1-cos1-b對(duì)任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，求出f（x）的單調(diào)性，從而得到f（x）的最小值，求出g（x）的最小值，由條件可知，只需f（x）_min≥g（x）_min，從而得到b的取值范圍；
（2）原不等式ax≤e^x+sinx-sin1+cos1對(duì)任意x≥0恒成立，對(duì)x=0，x＞0討論，運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x-2x，f'（x）=e^x-2，
則x＞ln2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x＜ln2時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）_min=f（ln2）=2-2ln2，
又易知g（x）_min=b-1，
對(duì)任意x₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂），只需f（x）_min≥g（x）_min，
即2-2ln2≥b-1，∴b≤3-2ln2；
（2）F（x）≥sin1-cos1-b對(duì)任意x≥0恒成立，
即等價(jià)于e^x-ax+sinx≥sin1-cos1對(duì)任意x≥0恒成立．
即ax≤e^x+sinx-sin1+cos1對(duì)任意x≥0恒成立．
①若x=0，顯然有a∈R，均有ax≤e^x+sinx-sin1+cos1恒成立，
②若x＞0，則即a≤

ex+sinx-sin1+cos1

x

對(duì)x＞0恒成立，
設(shè)h（x）=

ex+sinx-sin1+cos1

x

，則只需a≤h（x）_min，
又h'（x）=

(x-1)ex+xcosx-sinx+sin1-cos1

x2

，
設(shè)φ（x）=（x-1）e^x+xcosx-sinx+sin1-cos1，知φ（1）=0，
φ'（x）=x（e^x-sinx），∵x＞0時(shí)，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
從而當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）_min=h（1）=e+cos1，從而a≤e+cos1．
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，e+cos1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用：求單調(diào)性，求極值和最值，考查不等式成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，以及參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)的重要思想方法，是一道綜合題，屬于難題．