Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，△ABE為直角三角形且∠BAE=90°，AD⊥AE．
（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若AB=2AE=4，求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AE⊥DB，DB⊥AC，由此能證明DB⊥平面AEC，從而得到平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）作DE的中點F，連接OF，AF，由已知條件推導出∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角．由此能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，…（3分）
又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，…（4分）
所以DB⊥平面AEC，BD?面BED
故有平面AEC⊥平面BED．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE的中點F，連接OF，AF，
∵O是DB的中點，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角．…（8分）
設正方形ABCD的邊長為4，
則AO=2

2

，…（9分）
∵∠BAE=90°，AB=2AE=4，
∴AE=2，EB=2

5

，∴OF=

5

…（10分）
又AD⊥AE，∴AF=

1

2

ED=

5

，∴cos∠FOA=

OF2+OA2-AF2

2OF×OA

=

5+8-5

2 5 ×2 2

=

8

4 10

=

10

5

∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為

10

5

…（12分）
（3）解：V_A-BDE=V_D-ABE=

1

3

S△ABE×AD=

1

3

×

1

2

AE×AB×AD=

1

3

×

1

2

×AB2×AE=

1

6

AB2×AE．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法以及三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．