Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x+1|
（1）解不等式f（x）＞4-|x-1|；
（2）已知a+b=1（a＞0，b＞0），若|x-m|-f（x）≤$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$（m＞0）對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解各個區(qū)間上的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根據(jù)a+b=1，結合基本不等式的性質得到關于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞4-|x-1|，即|x+1|+|x-1|＞4，
當x＜-1時，不等式可化為-（x+1）-（x-1）＞4，解得：x＜-2，
當-1≤x≤1時，不等式可化為（x+1）-（x-1）＞4不成立，
當x＞1時，不等式可化為（x+1）+（x-1）＞4，解得x＞2，
∴原不等式的解集為{x|x＜-2或x＞2}；
（2）$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥9，
當且僅當a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$時等號成立，
由題意，則|x-m|-|x+1|≤9對任意x∈R恒成立，
又∵|x-m|-|x+1|≤|x-m-x-1|=|m+1|，
∴|m+1|≤9，
解之得：-10≤m≤8，
又m＞0，∴0＜m≤8，
∴m的取值范圍為（0，8]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．