Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓且離心率e＞

2

2

，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m=4，直線l過(guò)點(diǎn)（0，1）且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求當(dāng)△ABO的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

（I）方程化為

x2

8 5-m

+

y2

8 m-2

=1，∵是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，
∴m-2＞5-m＞0?

7

2

＜m＜5
∵e=

c

a

＞

2

2

?4c²＞2a²?a²＞2b²?m＞4，
∴m的取值范圍是4＜m＜5．
（II）當(dāng)m=4時(shí)，曲線C的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1，
①當(dāng)傾斜角為

π

2

 時(shí)，三角形不存在；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，則原點(diǎn)O到直線的距離d=

1

1+k2

，
 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立直線和橢圓方程

y=kx+1 x2+2y2=8

消去y可得（2k²+1）x²+4kx-6=0，
則x1+x2=

-4k

1+k2

，x1x2=

-6

1+2k2

，|AB|=

(1+k2)[( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

S=

1

2

d|AB|=

1

2

1

(1+k2 )

(1+k2)[( -4k2 1+2k2 )2+ 24 1+2k2 ]

=

1

2

( -4k 1+2k2 )2+ 24 1+2k2

=

4k2 (1+2k2)2 + 6 1+2k2

=

16k2+6 (1+2k2)2

令t=

1

1+2k2

，t∈（0，1]；
S=

16k2+6

(1+2k2)2

=

16k2+8-2

(1+2k2)2

=

8

1+2k2

-

2

(1+2k2)2

=-2t²+8t=8-2（t-2）²，
在（0，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)上式為最大值，最大值是6，此時(shí)k=0，直線方程為y=1．