Question

設函數(shù)f（x）=x³-2x²-4x．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）關于x的方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上有三個根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調性和極值與導數(shù)的關系即可求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）求出函數(shù)在[-1，4]上的極值和最值，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），由f'（x）=0得x=-

2

3

或2（2分）

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，2)	2	（2，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值 40 27	↘	極小值-8	↗

由上表得，f（x）的單調增區(qū)間為(-∞，-

2

3

)，（2，+∞）；
單調減區(qū)間為(-

2

3

，2)；
當x=-

2

3

時f（x）有極大值

40

27

，當x=2時，f（x）有極小值-8．
（2）由題知，只需要函數(shù)y=f（x） 和函數(shù)y=a 的圖象有兩個交點．
f（-1）=1，f（4）=16，
∴f(4)＞f(-

2

3

)＞f(-1)＞f(2)，
由（1）知f（x）在，當[-1，-

2

3

]上單調遞減，[-

2

3

，2]上單調遞增，在[2，4]在上單調遞減．
∴當1≤a＜

40

27

時，y=f（x） 和y=a 的圖象有兩個交點．
即方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上有三個根．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性極值和導數(shù)之間的關系，利用列表法是解決此類問題的基本方法．