Question

3．已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=10，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為25．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)²=2px（p＞0），寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)、對(duì)稱軸以及準(zhǔn)線，然后根據(jù)通徑|AB|=2p，求出p，△ABP的面積是|AB|與DP乘積一半．

解答 解：由于拋物線的解析式為y²=2px（p＞0），
則焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），對(duì)稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，A、B是l與C的交點(diǎn)，
又∵AB⊥x軸
∴|AB|=2p=10
∴p=5
又∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線上
∴DP=$\frac{p}{2}$+|-$\frac{p}{2}$|=p=5
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$×5×10=25
故答案為25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線以及焦點(diǎn)弦的特點(diǎn)；關(guān)于直線和圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題一般采取數(shù)形結(jié)合法．