Question

3．已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為x=-1，直線l與拋物線相交于不同的A，B兩點．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）如果直線l過拋物線的焦點，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（3）如果$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，直線l是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的準線方程可知：$\frac{p}{2}=1$，p=2．即可求得拋物線方程；
（2）設l：my=x-1，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（3）設直線l方程，my=x+n，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得n的值，可知直線l過定點．

解答 解：（1）已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為x=-1，
所以$\frac{p}{2}=1$，p=2．
∴拋物線的標準方程為y²=4x．
（2）設l：my=x-1，與y²=4x聯(lián)立，得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1=-3$．
（3）解：假設直線l過定點，設l：my=x+n，
$\left\{\begin{array}{l}{my=x+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+4n=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4n．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4=（{m^2}+1）{y_1}{y_2}-mn（{y_1}+{y_2}）+{n^2}={n^2}+4n$，解得n=-2，
∴l(xiāng)：my=x-2過定點（2，0）．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線與拋物線的位置關系，韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．