Question

【題目】設函數(shù)（，，，）的圖象在點處的切線的斜率為，且函數(shù)為偶函數(shù)．若函數(shù)滿足下列條件：①；②對一切實數(shù)，不等式恒成立．

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）設函數(shù)（）的兩個極值點，（）恰為的零點，當時，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知可得，由為偶函數(shù)．又

，又恒成立恒成立

；（2）由（1）得，由題意得 ，由，（）

，又，設（），（）記為，利用導數(shù)工具求得的最小值為．

試題解析： （1）由已知可得，

∵函數(shù)為偶函數(shù)，

∴，

即恒成立，

所以． 又，∴，，

又∵對一切實數(shù)，不等式恒成立，

∴恒成立，

∴

∴，∴．

（2）由（1）得，，

∴（），，

由題意得 又，

∴，解得，

∵，（）為的零點，

∴，，

兩式相減得，，

又，從而

， 設（），

則（）記為，

，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

故的最小值為．