Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中恒不為0.

（1）設(shè)，求函數(shù)在x＝1處的切線方程；

（2）若是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，求證：存在且唯一；

（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a，b滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在；a＝0，b≠0符合題意

【解析】

（1）根據(jù)，得到，求導(dǎo)，得到，，寫出切線方程.

（2）根據(jù)是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，則有，解得，令，用導(dǎo)數(shù)法研究只有一個(gè)零點(diǎn)即可.

（3）根據(jù)在上無零點(diǎn)，分當(dāng)a＝0，b≠0， ，三種情況討論求解.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，，，，

故在x＝1處的切線方程為：；

（2），，

由題意知，解得，

令，x＞0，，

時(shí)，；時(shí)，，

故在遞減，遞增，

又時(shí)，，故在(0，1)上無零點(diǎn)，

，，故，

又在遞增，因此，在(1，e)上存在唯一零點(diǎn)，

∴存在且唯一；

（3）由題意知：在上無零點(diǎn)

當(dāng)a＝0時(shí)，則b≠0，，符合題意；

又，則b(a＋b)＞0，故b≠0.

當(dāng)a≠0時(shí)，要使在上無零點(diǎn)，顯然ab＞0

在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，，

時(shí)，時(shí)，，

時(shí)，，，故，

因此，時(shí)，，與題意不符，舍去；

時(shí)，時(shí)，，

時(shí)，，，故，

因此，時(shí)，，與題意不符，舍去；

綜上，存在a＝0，b≠0符合題意.