Question

【題目】已知函數(shù)，a為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)后分子所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),分情況討論的正負(fù)以及根與1的大小關(guān)系即可.

(2)由(1)的兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,所以,,則,將化簡(jiǎn)整理為的函數(shù)即,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明不等式即可.

（1）函數(shù)的定義城為.

由題意,.

（ⅰ）若,則,于是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減.

（ⅱ）若,由,得或,

當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),；

所以在,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.

（ⅲ）若,則,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；

所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知,有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).

由于的兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,所以,,則,

由于.

設(shè)

.

.

當(dāng)時(shí),,所以.

所以在上單調(diào)遞減,又.

所以,即.