精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于點E,點D在AB上,DE⊥EB.
(1)求證:AC是△BDE的外接圓的切線;
(2)若AB=2
3
,AE=6,求EC的長.
分析:(1)要證明AC是△BDE的外接圓的切線,故考慮取BD的中點O,只要證明OE⊥AC,結(jié)合∠C=90°,證明BC∥OE即可
(2)設⊙O的半徑為r,則在△AOE中,由OA2=OE2+AE2,可求r,代入可得OA,2OE,Rt△AOE中,可求∠A,∠AOE,進而可求∠CBE=∠OBE,在△BCE中,通過EC與BE的關系可求.
解答:解(1)取BD的中點O,連接OE.
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO,
∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.…3分
∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是△BDE的外接圓的切線.
(2)設⊙O的半徑為r,則在△AOE中,OA2=OE2+AE2,即(r+2
3
2=r2+62,
解得r=2
3
,∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°.
∴∠CBE=∠OBE=30°.
∴EC=
1
2
BE=
1
2
3
r
=3.
點評:本題主要考查了切線的判定定理的應用,直角三角形基本關系的應用,屬于基本知識的簡單綜合.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為BC上一點,∠DAC=30°,BD=2,AB=2
3
,則AC的長為(  )
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D,過點D作⊙O的切線,交BC于點E.
(1)求證:點E是邊BC的中點;
(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,CE交AD于點P.
(1)若AE=CD,點M為BC的中點,求證:直線MP∥平面EAB
(2)若AE=2,CD=1,求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

8.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2
2
.DO⊥AB于O點,OA=OB,DO=2,曲線E過C點,動點P在E上運動,且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼,求曲線E的方程;
(2)過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間,設
DM
DN
=λ,試確定實數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜邊AB的中點,將△BCD沿直線CD翻折,若在翻折過程中存在某個位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是( 。
A、(0,
3
]
B、(
2
2
,2]
C、(
3
,2
3
]
D、(2,4]

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