Question

（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）

首項為正數(shù)的數(shù)列滿足          

（I）證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；

（II）若對一切都有，求的取值范圍.

Answer 1

解析：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野。本小題滿分13分。

解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，

則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。         

根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)。

（II）（方法一）由知，當且僅當或。

另一方面，若則；若，則

根據(jù)數(shù)學歸納法，

綜合所述，對一切都有的充要條件是或。

（方法二）由得于是或。

          

因為所以所有的均大于0，因此與同號。

根據(jù)數(shù)學歸納法，，與同號。         

因此，對一切都有的充要條件是或。