Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=a2lnx+ax（a≠0），g（x）= 2tdt，F(xiàn)（x）=g（x）﹣f（x）．
（1）試討論F（x）的單調(diào)性；
（2）當a＞0時，﹣e2≤F（x）≤1﹣e在x∈[1，e]恒成立，求實數(shù)a的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：g（x）= 2tdt=x2，

∴F（x）=g（x）﹣f（x）=x2﹣a2lnx﹣ax（x＞0），

F′（x）=2x﹣ ﹣a= ，

a＞0時，x∈（0，a）時，F(xiàn)（x）＜0，x∈（a，+∞）時，F(xiàn)（x）＞0，

∴函數(shù)F（x）在（0，a）遞減，在區(qū)間（a，+∞）遞增；

a＜0時，x∈（0，﹣ ）時，F(xiàn)（x）＜0，x∈（﹣ ，+∞）時，F(xiàn)（x）＞0，

∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，﹣ ）遞減，在（﹣ ，+∞）遞增，

綜上，a＞0時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；

a＜0時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，﹣ ）遞減，在區(qū)間（﹣ ，+∞）遞增

（2）解：由題意得F（1）=g（1）﹣f（1）=1﹣a≤1﹣e，即a≥e，

當a＞0時，由（1）得F（x）在[1，e]內(nèi)遞減，

故要使﹣e2≤F（x）≤1﹣e在x∈[1，e]恒成立，

只需 ，即 ，

即 ，即a=e

【解析】（1）求出g（x）的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】掌握定積分的概念和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．