【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，、均為等邊三角形，為的中點，點在上.

（1）求證：平面平面；

（2）若點是線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；

（2）以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，求出向量和面的一個法向量，再求兩向量夾角的余弦值，從而求得答案.

（1）因為、均為等邊三角形，為的中點，

所以，.

又，所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面；

（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.

又平面，所以，所以，，兩兩互相垂直.

故以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系如下圖所示：

不妨設，則，.

則點，，，，，.

則，，，

設平面的法向量為，則，

取，，，則，

，，，

，

則直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線:上的點到焦點的距離最小值為1.

(1)求的值;

(2)若點在曲線:上,且在曲線上存在三點,,,使得四邊形為平行四邊形.求平行四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校高二年級的第二學期，因某學科的任課教師王老師調(diào)動工作，于是更換了另一名教師趙老師繼任.第二學期結(jié)束后從全學年的該門課的學生考試成績中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如下：

學校秉持均衡發(fā)展、素質(zhì)教育的辦學理念，對教師的教學成績實行績效考核，績效考核方案規(guī)定：每個學期的學生成績中與其中位數(shù)相差在范圍內(nèi)（含）的為合格，此時相應的給教師賦分為1分；與中位數(shù)之差大于10的為優(yōu)秀，此時相應的給教師賦分為2分；與中位數(shù)之差小于-10的為不合格，此時相應的給教師賦分為-1分.

（Ⅰ）問王老師和趙老師的教學績效考核平均成績哪個大？

（Ⅱ）是否有的把握認為“學生成績?nèi)〉脙?yōu)秀與更換老師有關”.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已經(jīng)逐漸融入了人們的生活，在家里不用出門就可以買到自己想要的東西，在網(wǎng)上付款即可，兩三天就會送到自己的家門口，所以選擇網(wǎng)購的人數(shù)在逐年增加.某網(wǎng)店統(tǒng)計了2014年一2018年五年來在該網(wǎng)店的購買人數(shù)（單位：人）各年份的數(shù)據(jù)如下表：

年份（）

1

2

3

4

5

24

27

41

64

79

（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與時間（單位：年）的關系，請通過計算相關系數(shù)加以說明，（若，則該線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）

附：相關系數(shù)公式

參考數(shù)據(jù)

（2）該網(wǎng)店為了更好的設計2019年的“雙十一”網(wǎng)購活動安排，統(tǒng)計了2018年“雙十一”期間8個不同地區(qū)的網(wǎng)購顧客用于網(wǎng)購的時間x（單位：小時）作為樣本，得到下表

地區(qū)

時間

0.9

1.6

1.4

2.5

2.6

2.4

3.1

1.5

①求該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

②通過大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該活動期間網(wǎng)購時間近似服從正態(tài)分布，如果預計2019年“雙十一”期間的網(wǎng)購人數(shù)大約為50000人，估計網(wǎng)購時間的人數(shù).

（附：若隨機變量服從正態(tài)分布則，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線有光學性質(zhì)，即由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所示，今有拋物線，一光源在點處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向拋物線上的點，反射后，又射向拋物線上的點，再反射后又沿平行于拋物線的對稱軸方向射出，途中遇到直線上的點，再反射后又射回點.設，兩點的坐標分別是，.

（1）證明：；

（2）若四邊形是平行四邊形，且點的坐標為.求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方

程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校在2019年的冬令營考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下圖所示：

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

0.050

第2組

35

0.350

第3組

10

0.100

第4組

20

0.200

第5組

30

0.300

合計

100

1.00

（1）為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？

（2）在（1）的前提下，高校決定在這6名學生中，隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，求第4組至少有一名學生被A考官測試的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知 .

（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓與直線相交于、兩點，為原點，若.

（1）求實數(shù)的值；

（2）求的面積.

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