Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 由a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1），解得a_n=$\frac{2}{n+1}$．
故答案為：$\frac{2}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．