Question

4．若數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n$，則$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{a_n}{n+1}$=2n²+6n．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出首項，并得到當n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+3（n-1）$．與原遞推式作差可得數(shù)列通項公式，進一步得到$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，再由等差數(shù)列的前n項和求解．

解答 解：由$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n$，
令n=1，得$\sqrt{{a}_{1}}=4$，∴a₁=16．
當n≥2時，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+3（n-1）$．
與已知遞推式作差，得$\sqrt{{a}_{n}}=（{n}^{2}+3n）-（n-1）^{2}-3（n-1）=2n+2$．
∴${a}_{n}=4（n+1）^{2}$，
當n=1時，a₁適合上式，
∴${a}_{n}=4（n+1）^{2}$，
則$\frac{{a}_{n}}{n+1}=4n+4$．
∴$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{a_n}{n+1}$=4（1+2+…+n）+4n=4×$\frac{n（n+1）}{2}+4n$=2n²+6n．
故答案為：2n²+6n．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．