Question

已知圓C：x²+（y-m）²=4，點M（1，0）．
（Ⅰ）若過點M的直線可為圓C的切線時，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若直線l：x-2y=0與圓C相交于P、Q兩點，且△PCQ的面積為

8

5

，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)過M的切線存在，得到點M在圓上或圓外，得到圓心與M距離大于等于半徑，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離|CD|，再由半徑及|CD|，利用垂徑定理及勾股定理表示出|PQ|，利用三角形的面積公式，根據(jù)已知的面積求出m的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵過點M的切線存在，
∴點M在圓上或圓外，∴1+m²≥4，
∴m≥

3

或m≤-

3

；
（Ⅱ）∵弦心距|CD|=

|2m|

5

，
∴弦長|PQ|=2

4-( |2m| 5 )2

=4

5-m2 5

，
∴S_△PCQ=

1

2

•

5-m2 5

•

|2m|

5

=

8

5

，
解得：m=±1或m=±2．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及三角形面積求法，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．