【題目】已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn),其漸近線為,且其右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過的直線與相交于兩點(diǎn),直線的法向量為,且,求的值
(3)在(2)的條件下,若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足,求的值及的面積.
【答案】(1);(2);(3);
【解析】
(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程可構(gòu)造關(guān)于的方程,解方程求得結(jié)果即可得到雙曲線方程;
(2)由直線法向量可得到直線方程,與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式;利用可構(gòu)造關(guān)于的方程,解方程求得結(jié)果;
(3)由的值可得到韋達(dá)定理的形式,利用弦長公式求得;設(shè),由已知等式可用表示出,代入雙曲線方程可求得,進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo);利用點(diǎn)到直線距離公式求得的高,從而求得三角形的面積.
(1)由題意知:拋物線的焦點(diǎn)為
則,解得: 雙曲線的方程為:
(2)由直線的法向量可得其方向向量
由得:
設(shè),,則
由
解得:
(3)將代入式化簡得:,此時(shí)
設(shè),由得:
在雙曲線上 ,解得:或
位于第四象限
,又,即
到直線的距離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了年月至年月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 月接待游客逐月增加
B. 年接待游客量逐年減少
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在月
D. 各年月至月的月接待游客量相對(duì)于月至月,波動(dòng)性較小,變化比較穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 中,,,分別為,邊的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費(fèi)用200元,另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi),小費(fèi)每次50元.在機(jī)器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機(jī)時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元,無需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計(jì)表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用(單位:元),表示購機(jī)的同時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若=10,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買10次維修服務(wù),或每臺(tái)都購買11次維修服務(wù),分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)口袋內(nèi)有個(gè)不同的紅球,個(gè)不同的白球,
(1)從中任取個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個(gè)紅球記分,取一個(gè)白球記分,從中任取個(gè)球,使總分不少于分的取法有多少種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和滿足
(1)求的表達(dá)式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的倍,為了更好地對(duì)比該?忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2015年和2018年的高考情況,得到如圖柱狀圖:
則下列結(jié)論正確的是
A. 與2015年相比,2018年一本達(dá)線人數(shù)減少
B. 與2015年相比,2018年二本達(dá)線人數(shù)增加了倍
C. 2015年與2018年藝體達(dá)線人數(shù)相同
D. 與2015年相比,2018年不上線的人數(shù)有所增加
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,傾斜角為的直線經(jīng)過焦點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn)、.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程;
(2)若為銳角,作線段的中垂線交軸于點(diǎn).證明:為定值,并求出該定值.
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