Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）對進(jìn)行求導(dǎo)，得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，最后根據(jù)點斜式求出切線方程；

（2）根據(jù)題意，化簡得，求出導(dǎo)函數(shù)，通過有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，列出不等式組，由恒成立條件轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，進(jìn)而可求得的取值范圍.

解：（1）因為，

所以，

所以切線斜率，又，

故曲線在點處的切線方程為：

，即.

（2）因為，

所以，

因為函數(shù)有兩個極值點，，

則有兩個不同的正根，即有兩個不同的正根，

則，

不等式恒成立等價于

恒成立，

又

，

所以，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，所以.

所以實數(shù)的取值范圍為：.