Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（x）+x•f'（x）＞0（f'（x）是f（x）的導函數(shù)），則不等式（x-1）f（x²-1）＜f（x+1）的解集為（　　）

• A． （-1，2）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構造函數(shù)g（x）=xf（x），求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：設g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+x•f'（x），
∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
則不等式（x-1）f（x²-1）＜f（x+1）等價為（x-1）（x+1）f（x²-1）＜（x+1）f（x+1），
即（x²-1）f（x²-1）＜（x+1）f（x+1），
即g（x²-1）＜g（x+1），
∵g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{x+1＞0}\\{{x}^{2}-1＜x+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1或x＜-1}\\{x＞-1}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，即1＜x＜2，
故不等式的解集為（1，2），
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．