Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）．
（Ⅰ）（i）若b=-2，且f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）若b=-1，c=1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，求a的最小正整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）（i）若b=-2，f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則

1

a

≤1，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）若b=-1，c=1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，則

1 2a ＞1 f(1)=a≤1

或

0＜ 1 2a ≤1 f(1)=a≤1 f( 1 2a )≥-1

，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，則

a＞0 c≥1 a+b+c≥1 b2-4ac＞0 0＜- b a ＜2 0＜ c a ＜1

，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解答： 解：（Ⅰ）（i）若b=-2，
則f（x）=ax²-2x+c（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=

1

a

為對(duì)稱軸的拋物線．
若f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
則

1

a

≤1，
解得a≥1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）
（ii）若b=-1，c=1，
則f（x）=ax²-x+1（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=

1

2a

為對(duì)稱軸的拋物線．
若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，
則

1 2a ＞1 f(1)=a≤1

或

0＜ 1 2a ≤1 f(1)=a≤1 f( 1 2a )≥-1

，
解得0＜a＜

1

2

，或

1

2

≤a≤1
綜上所述：0＜a≤1
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1]
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，
則

a＞0 c≥1 a+b+c≥1 b2-4ac＞0 0＜- b a ＜2 0＜ c a ＜1

由b²＞4ac＞4a（1-a-b）得：
b²+4ab+4a²=（b+2a）²＞4a，
即b+2a＞2

a

，
即b＞2

a

-2a，…①
由b²＞4ac≥4a得：
b＜-2

a

…②
由①②得：
2

a

-2a＜-2

a

，
解得a＞4，
故a的最小正整數(shù)值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，難度中檔．