Question

【題目】已知函數(shù)，無窮數(shù)列的首項(xiàng)．

（1）如果，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）如果（且），要使得數(shù)列是等差數(shù)列，求首項(xiàng)的取值范圍；

（3）如果（且），求出數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，然后求出．

（2）由是等差數(shù)列，求出公差，首項(xiàng)，然后求解的范圍．

（3）當(dāng)時(shí)，求出前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出項(xiàng)和即可．

解：（1）函數(shù)

又且，．

（2）因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，則，，

由分段函數(shù)的解析式及等差數(shù)列的性質(zhì)有，公差．

當(dāng)時(shí)，有,符合題意．

當(dāng)時(shí)，，

由得，得，,

又,則無解．

當(dāng)時(shí)，，

由得，得，此時(shí),滿足．

綜上所述，可得的取值范圍是或．

（3）當(dāng)時(shí)，，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，

．

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，．

時(shí)，.

時(shí)，

又也滿足上式，

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，．

時(shí)，.

時(shí)，

又也滿足上式，．

綜上所述：．