Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

(1)求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

(1)    (2)

解　(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A₁(0,0,4)，C₁(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝，所以異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值為.
(2)設(shè)平面ADC₁的法向量為n₁＝(x，y，z)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035229009409.png" style="vertical-align:middle;" />＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n₁·＝0，n₁·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n₁＝(2，－2,1)是平面ADC₁的一個(gè)法向量．取平面AA₁B的一個(gè)法向量為n₂＝(0,1,0)，設(shè)平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的大小為θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的正弦值為.