Question

要獲得某項(xiàng)英語資格證書必須依次通過聽力和筆試兩項(xiàng)考試，只有聽力成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加筆試的考試．已知聽力和筆試各只允許有一次不考機(jī)會，兩項(xiàng)成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某同學(xué)參加這項(xiàng)證書考試，根據(jù)以往模擬情況，聽力考試成績每次合格的概率均為，筆試考試成績每次合格的概率均為，假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．
（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（2）求他恰好補(bǔ)考一次就獲得證書的概率；
（3）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求參加考試次數(shù)ξ的分布列和期望值．

Answer 1

解：設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件A₁，“聽力補(bǔ)考合格”為事件A₂；“筆試第一次考試合格”為事件B₁“筆試補(bǔ)考合格”為事件B₂．
（1）不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A₁B₁，注意到A₁與B₁相互獨(dú)立，
則P（A_1^?B₁）=P（A₁）×P（B₁）=×=．
答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為．
（2）恰好補(bǔ)考一次的事件是
則P（）=P（）+P（）
===
（3）由已知得，ξ=2，3，4，
注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A_1^?B₁）+P（）=×+×=+=
P（ξ=3）=P（A_1^??）+P（?A₂?B₂）=
P（ξ=4）=P（?A_2^??B₂）+P（?A_2^??）=×=+=
參加考試次數(shù)ξ的期望值