Question

(12分)如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；    　

（2）求二面角的大小；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離

為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：解法一：（1）證明：∵底面為正方形，

  ∴，又，  ∴平面，

∴. 同理可證，   ∴平面．         

（2）解：設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，又為中點(diǎn)，

可得，從而底面．

過 作的垂線，垂足為,連結(jié)．

 由三垂線定理有，

∴為二面角的平面角.

在中，可求得   ∴．                 

∴ 二面角的大小為．  

（3）由為中點(diǎn)可知,

要使得點(diǎn)到平面的距離為，即要點(diǎn)到平面的距離為.

 過 作的垂線，垂足為,

∵平面，∴平面平面，∴平面，

即為點(diǎn)到平面的距離.∴，∴．            

 設(shè)，由與相似可得，∴，即．

∴在線段上存在點(diǎn)，且為中點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）證明：同解www.ks5u.com法一．

（2）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系， .  

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，．

又

  令則得．      

又是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的大小為 ，

則．

∴ 二面角的大小為．  

（3）解：設(shè)

為平面的一個(gè)法向量，

則，．又，

 令則得．  又

∴點(diǎn)到平面的距離，∴，解得，即 ，∴在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為,且為中點(diǎn)