Question

對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一

個(gè)＂不動(dòng)點(diǎn)＂.已知二次函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的不動(dòng)點(diǎn)，

且兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（2）（3）

【解析】（1）將a、b代入函數(shù)，根據(jù)條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)”建立方程解之即可；

（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成對(duì)任意實(shí)數(shù)b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個(gè)不等實(shí)根，再利用判別式建立a、b的不等關(guān)系，最后將b看成變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于b的恒成立問題求解即可．

(3)在（2）的條件下，可得由得,由題意知，，從而可確定AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可得,整理后得，這樣就轉(zhuǎn)化為b關(guān)于a的函數(shù)問題來解決即可.

解：（1），是的不動(dòng)點(diǎn)，則，

得或，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為和．……………… 3分

（2）∵函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，∴恒有兩

個(gè)不等的實(shí)根，對(duì)恒成立，

∴，得的取值范圍為．  …………7分

（3）由得，由題知，，

設(shè)中點(diǎn)為，則的橫坐標(biāo)為，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)

成立，

∴的最小值為．………………………… 12分