Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1點(diǎn)P₁，P₂分別為線段AB，BD₁上的動(dòng)點(diǎn)且不與端點(diǎn)重合．在P₁，P₂運(yùn)動(dòng)的過程中直線P₁P₂始終于平面A₁ADD₁的法向量垂直，設(shè)AP₁=x（0＜x＜1），將幾何體P₁P₂AB₁的體積V表示為x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意可得△P₁P₂B∽△AD₁B，設(shè)AP₁=x（0＜x＜1），則P₁B=1-x，x∈（0，1），則P₁P₂=

2

（1-x），P₂到平面AA₁B₁B的距離為1-x，即可求出四面體的體積．

解答： 解：由題意在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P₁P₂始終與平面A₁ADD₁的法向量垂直，△P₁P₂B∽△AD₁B，
設(shè)AP₁=x（0＜x＜1），則P₁B=1-x，x∈（0，1），則P₁P₂=

2

（1-x），P₂到平面AA₁B₁B的距離為1-x，
所以四面體P₁P₂AB₁的體積為V=

1

3

×

1

2

×x×1×(1-x)=

x(1-x)

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形中，幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．