Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x （m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=loga（f（x）﹣ax+2）在區(qū)間（1，+∞）上恒為正值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件冪函數(shù)f（x）= 在（0，+∞）上為增函數(shù)，

得到﹣2m2+m+3＞0，

解得：﹣1＜m＜

又因?yàn)閙∈Z，所以m=0或1；

又因?yàn)槭桥己瘮?shù)

當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x3，f（x）為奇函數(shù)，不滿足；

當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x2，f（x） 為偶函數(shù)，滿足；

所以f（x）=x2

（2）解：由題意a＞1，且x2﹣ax+2＞1在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．

即h（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ＞1恒成立，其中x∈（1，+∞）

當(dāng)1＜a≤2時(shí)， ≤1，所以h（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，

所以，h（x）＞3﹣a，∴3﹣a＞1即1＜a≤2適合題意．

當(dāng)a＞2時(shí) ＞1，g（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ≥2﹣ ，

∴2﹣ ＞1，∴a2＜4與a＞2矛盾，不合題意．

綜上可知：1＜a≤2

【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義以及函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞1，且x2﹣ax+2＞1在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即h（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ＞1恒成立，其中x∈（1，+∞），通過(guò)討論a，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．