Question

【題目】函數(shù)f(x)＝a－2ln x(a∈R)．

(Ⅰ)當a＝2時，求曲線f(x)在x＝2處的切線方程；

(Ⅱ)若a>，且m，n分別為f(x)的極大值和極小值，S＝m－n，求證：S<.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)3x－2y－4ln 2＝0(Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出導數(shù)，計算可得到切線斜率，求出 可得切點坐標，利用點斜式即可求出切線方程；(Ⅱ) 設(shè)的兩根為，所以，求出，將的值代入的解析式，化簡，構(gòu)造新函數(shù)，求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應用單調(diào)性求最值，即可證明結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ) f′(x)＝a＋－，若a＝2，則f′(2)＝2＋－＝，f(2)＝4－1－2ln 2＝3－2ln 2，則曲線f(x)在x＝2處的切線方程為y－(3－2ln 2)＝ (x－2)，化簡得3x－2y－4ln 2＝0.

(Ⅱ)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得ax2－2x＋a＝0，

則Δ>0且<a，得<a<1，此時設(shè)f′(x)＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，

所以m＝f(x1)，n＝f(x2)．

因為x1x2＝1，所以x1<1<x2，由<a<1，

所以S＝m－n＝ax1－－2ln x1－(ax2－－2ln x2)

＝ax1－－2ln x1－(－ax1＋2ln x1)

＝2(ax1－－2ln x1)．

由a－2x1＋a＝0得a＝，

代入上式得S＝4(－lnx1)

＝4(－ln)．

令h(x)＝ax2－2x＋a，則h＝－＋a

＝a·－>·－＝－＝0，

x＝ 是拋物線h(x)的對稱軸．

∴<x1<1.

令＝t，所以<t<1，g(x)＝－ln x，則S＝4g(t)，

g'(x)＝<0，所以g(x)在≤x≤1上為減函數(shù)，

從而g(1)<g(t)<g()，即0<g(t)< ，所以S<.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.