Question

已知k∈R，當(dāng)k的取值變化時(shí)，關(guān)于x，y的方程4kx-4y=4-k²的直線有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線形成了一個(gè)直線系，記集合M={（x，y）|4kx-4y=4-k²僅有唯一直線}．
（1）求M中點(diǎn)（x，y）的軌跡方程；
（2）設(shè)P={（x，y）|y=2x+a，a為常數(shù)}，任取C∈M，D∈P，如果|CD|的最小值為

5

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意易知，k²+4kx-4（y+1）=0僅有唯一解，利用△=16x²+16（y+1）=0，可求M中點(diǎn)（x，y）的軌跡方程；
（2）設(shè)直線y=2x+C與軌跡M相切，兩方程聯(lián)立，求出直線方程，利用|CD|的最小值為

5

，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求a的值．

解答：解（1）由題意易知，k²+4kx-4（y+1）=0僅有唯一解，
∴△=16x²+16（y+1）=0，
∴所求的軌跡方程為x²+y+1=0．…..…（3分）
（2）設(shè)直線y=2x+C與軌跡M相切，則
由

y=2x+C x2+y+1=0

，消y可得x²+2x+C+1=0，
∴△=4-4（C+1）=0，即C=0，∴y=2x，
∵|CD|的最小值為

5

，
∴

|a|

5

=

5

⇒a=±5．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．