4.如圖,有一塊半徑為2的半圓形空地,計(jì)劃綠化成等腰梯形ABCD形狀的草坪,它的下底AB是⊙O的直徑,上底CD的端點(diǎn)在圓周上,設(shè)草坪ABCD的周長為y.
(1)若CD=2,求草坪ABCD的面積;
(2)若CD=x,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出它的定義域;
(3)當(dāng)CD為何值時(shí),y的值最大,并求出最大值.

分析 (1)連接圓心O與D,C可得OC,OD,利用勾股定理求出DE即等腰梯形ABCD的高,利用梯形面積公式可得答案.
(2)同理(1)可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,
(3)根據(jù)(2)中的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),配方求解其最大值.

解答 解:(1)連接圓心O與D,C,CD=2,可得△ODC是等邊三角形,
故得等腰梯形ABCD的高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{2}CD$=$\sqrt{3}$.
∴草坪ABCD的面積;$S=\frac{1}{2}(2+4)×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
(2)同(1)連接圓心O與D,C
可得△ODC是等腰三角形,
故得等腰梯形ABCD的高h(yuǎn)=$\sqrt{{2}^{2}-(\frac{x}{2})^{2}}$,
斜邊長為:$\sqrt{{h}^{2}+(\frac{4-x}{2})^{2}}$
∴周長為y=4+x+2×$\sqrt{{h}^{2}+(\frac{4-x}{2})^{2}}$
即y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$
定義域?yàn)椋簕x|0<x<4}.
(3)由(2)可得y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$,(0<x<4)
化簡可得:y=$-(\sqrt{4-x})^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{4-x}+8$=$-(\sqrt{4-x}-\sqrt{2})^{2}+10$
∴當(dāng)x=2時(shí),y取得最大值為10.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用在實(shí)際問題的運(yùn)用能力和計(jì)算能力.屬于中檔題.

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