【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,ADBC,PAABBCCD=2,PD=2,PAPD,QPD的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:CQ∥平面PAB;

(Ⅱ)求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)

【解析】試題分析:

(1)PA的中點(diǎn)N,由題意證得BNCQ,CQ∥平面PAB.

(2)利用題意建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面的法向量可得直線PD與平面AQC所成角的正弦值為

試題解析:

(Ⅰ)證明 如圖所示,取PA的中點(diǎn)N,連接QN,

BN.在△PAD中,PNNA,PQQD

所以QNAD,且QNAD.

在△APD中,PA=2,PD=2,PAPD

所以AD=4,而BC=2,所以BCAD.

BCAD,所以QNBC,且QNBC,

故四邊形BCQN為平行四邊形,所以BNCQ.

BN平面PAB,且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

(Ⅱ)如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接BM;取BM的中點(diǎn)O,連接BO、PO.

由(1)知PAAMPM=2,

所以△APM為等邊三角形,

所以POAM. 同理BOAM.

因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD,所以POBO.

如圖,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OBOD,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,-1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),

=(,3,0).

因?yàn)?/span>QDP的中點(diǎn),故Q,所以.

設(shè)平面AQC的法向量為m=(x,y,z),

可得

y=-,則x=3,z=5. 故平面AQC的一個(gè)法向量為m=(3,-,5).

設(shè)直線PD與平面AQC所成角為θ.

則sinθ= |cos〈m〉|=.

從而可知直線PD與平面AQC所成角正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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物體重量(單位g)

1

2

3

4

5

彈簧長(zhǎng)度(單位cm)

1.5

3

4

5

6.5

參考公式:
①.樣本數(shù)據(jù)x1 , x2 , …xn的標(biāo)準(zhǔn)差
s= ,其中 為樣本的平均數(shù);
②.線性回歸方程系數(shù)公式 = = , =

(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;
(2)利用所給的參考公式,求y對(duì)x的回歸直線方程;
(3)預(yù)測(cè)所掛物體重量為8g時(shí)的彈簧長(zhǎng)度.

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(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為a,b,c,d,e,f,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率.
(3)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x,y,并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該代表中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng),求該代表中獎(jiǎng)的概率.

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(Ⅱ)設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的值域?yàn)閇λ,μ],若有 ,則稱(chēng)該函數(shù)為“陡峭函數(shù)”.若函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,2a]上為“陡峭函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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