數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn且an+Sn=1(n∈N*)
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,且bn+1=bn+an(n≥1),求{bn}通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Tn.
分析:(Ⅰ)只需要寫出相鄰的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式,兩式相減即可獲得數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)即可獲得解答;
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)可知數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an,通過錯(cuò)位相消即可求的數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,再通過分組法即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)公式.
解答:解:(Ⅰ)∵a
n+S
n=1,
∴a
n+1+S
n+1=1
兩式相減得a
n+1-a
n+S
n+1-S
n=0.∴2a
n+1=a
n.
∴{a
n}為公式為
的等比數(shù)列.
又n=1時(shí),a
1+S
1=1.∴
a1=∴
an=a1qn-1=•()n-1=()n∴{a
n}的通項(xiàng)公式:
an=()n,n∈N*.
(Ⅱ)∵b
n+1=b
n+a
nbn+1-bn=()n.
∴
b2-b1=,b3-b2=()2, b4-b3=()3, , bn-bn-1=()n-1相加,
bn-b1=+()2+()3++()n-1.
∵b
1=1,
∴
bn=1++()2++()n-1═2(1-)即
bn=2(1-).
Tn=2n-2(+++)=2n-2(1-)=2(n-1)+.
∴{b
n}通項(xiàng)公式為:
bn=2(1-),n∈N*前n項(xiàng)和為:
Tn=2(n-1)+,n∈N* 點(diǎn)評(píng):本題考查的是數(shù)列的遞推關(guān)系問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了遞推關(guān)系的處理、特殊數(shù)列的探究、錯(cuò)位相消的處理方法以及問題轉(zhuǎn)化的能力.值得同學(xué)們體會(huì)反思.