【題目】設(shè)是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,,.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.
①試求最小的正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),都有成立;
②是否存在正整數(shù) ,使得成立?若存在,請求出所有滿足條件的;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);
(2)①最小的正整數(shù);②存在正整數(shù),使得成立.
【解析】
試題分析:
(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)①,
可得數(shù)列的前2n項(xiàng)和,設(shè),則,時(shí),,即時(shí),,數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,即可得出最小的正整數(shù).②由,, ,,,,,.按的奇偶性分情況: 1°當(dāng)同時(shí)為偶數(shù)時(shí),由①可知; 2°當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí),時(shí),,數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增,不成立; 3°當(dāng)為偶數(shù),為奇數(shù)時(shí),,不成立; 4°當(dāng)為奇數(shù),為偶數(shù)時(shí),顯然時(shí),不成立;綜合即可得出使得成立的正整數(shù).
試題解析:
(1)由,,
得,,
設(shè)的公比為,的公差為,
由,
得,
即,消去,得,
解得或,
又,
,
得.
(2)①,
,
,
,
設(shè),
則,
所以數(shù)列單調(diào)遞增,則時(shí),,
即時(shí),,數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增,
而,所以當(dāng)時(shí),,
綜上,最小的正整數(shù).
②法一:,
,
,
,
,
,
,
.
1.當(dāng)同時(shí)為偶數(shù)時(shí),由①可知;
2.當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí),設(shè),
則,
所以數(shù)列單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),,
即時(shí),,數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞增,
而,
故當(dāng)同時(shí)為奇數(shù)時(shí),不成立;
3.當(dāng)為偶數(shù),為奇數(shù)時(shí),顯然時(shí),不成立,
若,則,
,,
由2.可知,,
當(dāng)為偶數(shù),為奇數(shù)時(shí),不成立;
4.當(dāng)為奇數(shù),為偶數(shù)時(shí),顯然時(shí),不成立,
若,則,
若,
則,
即,時(shí),不成立,
若,即,
由①中數(shù)列的單調(diào)性,可知,
設(shè),
恒成立,
所以數(shù)列單調(diào)遞增,
則當(dāng)時(shí),,
,
時(shí)也不成立;
綜上1.2.3.4.,存在正整數(shù),使得成立.
法二:可以證明當(dāng)時(shí),不等式恒成立,余下略.
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7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 |
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 |
A. 14 B. 07 C. 04 D. 01
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【題目】為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間的關(guān)系,下表記錄了小李某月連續(xù)5天每天打籃球時(shí)間(單位:小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率之間的關(guān)系:
時(shí)間 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
命中率 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
(Ⅰ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出投籃命中率與打籃球時(shí)間(單位:小時(shí))之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)如果小李某天打了2.5小時(shí)籃球,預(yù)測小李當(dāng)天的投籃命中率.
(參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,)
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(2)點(diǎn)坐標(biāo)為,記直線、的斜率分別為,證明:為定值.
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【題目】已知函數(shù)在上是奇函數(shù).
(1)求;
(2)對,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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身高/cm () | 150 | 155 | 160 | 165 | 170 |
體重/kg () | 43 | 46 | 49 | 51 | 56 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,計(jì)算身高為168cm時(shí),體重的估計(jì)值為多少?
參考公式:線性回歸方程,其中,.
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分?jǐn)?shù)段(分) | 總計(jì) | |||||
頻數(shù) |
(1)若成績在分以上(含分),則成績?yōu)榧案?請估計(jì)該校畢業(yè)班平均成績和及格學(xué)生人數(shù);
(2)如果樣本數(shù)據(jù)中,有60名女生數(shù)學(xué)成績及格,請完成如下數(shù)學(xué)成績與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為:“該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
及格人數(shù) | |||
不及格人數(shù) | |||
總計(jì) |
參考公式:
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的正半軸重合,且長度單位相同。
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(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值。
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