Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）為偶函數(shù)
（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）時總有f（x）-（1-m）x²＞0成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）對x∈R恒成立，再用待定系數(shù)法求解，已經(jīng)知道性質(zhì)，也可以用特殊值求解．（2）不等式即為x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，并去絕對值轉(zhuǎn)化為mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．然后令g（x）=mx²+x+1，
x∈（0，+∞）求其最小值可即可，要注意分類討論．

解答：解：（1）法一：因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）對x∈R恒成立，
即有x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，化為|x-a|=|x+a|對任意實數(shù)x恒成立，
平方得（x-a）²=（x+a）²，即4ax=0，所以a=0．（5分）
（若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分）
法二：由f（1）=f（-1）得|1-a|=|1+a|，得a=0．（3分）
此時f（x）=x²+|x|+1，滿足f（-x）=f（x），
所以a=0時，f（x）為偶函數(shù)．（5分）
（2）不等式即為x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，
即不等式mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
設(shè)g（x）=mx²+x+1，x∈（0，+∞）．
①當(dāng)m=0時，g（x）=x+1＞0在（0，+∞）上恒成立；（7分）
②當(dāng)m＜0時，拋物線開口向下，不等式不可能恒成立；（10分）
③當(dāng)m＞0時，對稱軸x=-

1

2m

＜0，
又因為g（0）=1＞0，所以不等式恒成立．（14分）
綜上得m≥0．（15分）

點評：本題主要考查利用奇偶性求參數(shù)的值一般用待定系數(shù)法，還考查了不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題．