Question

5．△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，G是平面△ABC上一點，且滿足a•$\overrightarrow{GA}$+b•$\overrightarrow{GB}$+c•$\overrightarrow{GC}$=0，則G是△ABC中的（　�。�

• A． 內(nèi)心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AG}$，結(jié)合圖形即可得出G在∠BAC的角平分線上．

解答 解：∵a•$\overrightarrow{GA}$+b•$\overrightarrow{GB}$+c•$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴a$\overrightarrow{GA}$+b（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AG}$）+c（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AG}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴（a+b+c）$\overrightarrow{AG}$=b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{AG}$=$\frac{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$=$\frac{bc}{a+b+c}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{bc}{a+b+c}•\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴G在∠BAC的角平分線上，
同理可得：G在∠ABC的角平分線上，
∴G是△ABC的內(nèi)心．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，平面向量的基本運算，同時考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．