設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求證:
(Ⅰ)方程f(x)=0有實(shí)根.
(Ⅱ)-2<
a
b
<-1;設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,則.
3
3
≤|x1-x2|<
2
3
分析:(Ⅰ)針對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,若a=0,f(0)f(1)≤0顯然與條件矛盾,a≠0時(shí),f(x)=3ax2+2bx+c為二次函數(shù),只需考慮判別式即可;
(Ⅱ)利用根與系數(shù)的關(guān)系將(x1-x22轉(zhuǎn)化成關(guān)于
b
a
的二次函數(shù),根據(jù)
b
a
的范圍求出值域即可.
解答:證明:(Ⅰ)若a=0,則b=-c,
f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,
與已知矛盾,
所以a≠0.
方程3ax2+2bx+c=0的判別式△=4(b2-3ac),
由條件a+b+c=0,消去b,得△=4(a2+c2-ac)=4[(a-
1
2
c)
2
+
3
4
c2]>0

故方程f(x)=0有實(shí)根.
(Ⅱ)由條件,知x1+x2=-
2b
3a
,x1x2=
c
3a
=-
a+b
3a
,
所以(x1-x22=(x1-x22-4x1x2=
4
9
(
b
a
+
3
2
)2+
1
3

因?yàn)?span id="6uvdwzc" class="MathJye">-2<
b
a
<-1,
所以
1
3
≤(x1-x2)2
4
9

3
3
≤|x1-x2|<
2
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)與解法,以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:
(Ⅰ)a>0且-2<
ba
<-1
;
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:a>0且-2<
ba
<-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)•f(1)>0,求證:
(I) -2<
b
a
<-1

(II) 設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,則
3
3
≤|x1-x2|<
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求證:
(1)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根;
(2)-2<
b
a
<-1;
(3)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則
3
3
≤|x1-x2|
3
2

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