【題目】已知函數(shù),其中a∈R.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng) 時,設(shè)、為曲線上任意兩點,曲線在點處的切線斜率為k,證明:.
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時,的增區(qū)間為;當(dāng)時,在為增函數(shù),在為減函數(shù).(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
(1)分和兩種情況分別討論導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)原不等式等價于,不妨設(shè),則不等式又可以轉(zhuǎn)化為即,利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式.
(1)
當(dāng)時,,故的增區(qū)間為.
當(dāng)時,
若,則,故在為增函數(shù);
若,則,故在為減函數(shù);
綜上,當(dāng)時,的增區(qū)間為;
當(dāng)時,在為增函數(shù),在為減函數(shù).
(2)當(dāng)時,,.
原不等式等價于,
不妨設(shè),則原不等式又等價于,該式可進一步化為:
,因此原不等式等價于,下證該不等式成立.
令,則,
故在為增函數(shù),所以即成立,
綜上,原不等式成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件;
②“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充要條件;
③“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件;
④設(shè),,分別是三個內(nèi)角,,所對的邊,若,,則“”是“”的必要不充分條件.其中,真命題的序號是________.
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【題目】已知向量=(2sin x,cos x),=(-sin x,2sin x),函數(shù)f(x)=·
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=1,c=1,ab=2,且a>b,求a,b的值.
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【題目】如圖,直角梯形ABDC中,,,,,.
(1)若S是直角梯形ABDC所在平面外一點,畫出平面SBD和平面SAC的交線,并說明理由;
(2)直角梯形ABDC繞直線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體名稱是什么?并求出其體積.
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【題目】2019年,隨著中國第一款5G手機投入市場,5G技術(shù)已經(jīng)進入高速發(fā)展階段.已知某5G手機生產(chǎn)廠家通過數(shù)據(jù)分析,得到如下規(guī)律:每生產(chǎn)手機萬臺,其總成本為,其中固定成本為800萬元,并且每生產(chǎn)1萬臺的生產(chǎn)成本為1000萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入萬元滿足
(1)將利潤表示為產(chǎn)量萬臺的函數(shù);
(2)當(dāng)產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少萬元?
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【題目】市政府為了節(jié)約用水,調(diào)查了100位居民某年的月均用水量(單位:),頻數(shù)分布如下:
分組 | |||||||||
頻數(shù) | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 | 14 | 6 | 4 | 2 |
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)將頻率分布直圖補充完整(不必說明理由);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計本市居民月均用水量的中位數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計本市居民月均用水量的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)由該組區(qū)間的中點值作為代表).
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【題目】已知兩點,,給出下列曲線方程:(1);(2);(3);(4),在曲線上存在點滿足的所有曲線是( )
A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)
C.(1)(4)D.(2)(3)(4)
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【題目】若直線與x軸,y軸的交點分別為A,B,圓C以線段AB為直徑.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l過點且圓心C到l的距離為1,求直線l的方程.
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