Question

如圖，設由拋物線C：x²=4y與過它的焦點F的直線l所圍成封閉曲面圖形的面積為S（陰影部分）．
（1）設直線l與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直線l的斜率為k，試用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線C的方程可得焦點的坐標，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可設直線l的方程，與拋物線聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，進而根據(jù)求得x₂-x₁．
（2）根據(jù)化簡整理得，令，進而根據(jù)t的范圍求得S的范圍，得到最小值．
解答：解：（1）可得點F（0，1），
設直線l的方程為y=kx+1直線l與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得x²-4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，又x₁＜x₂，
∴．
（2）所求的面積：
=
=
=
=
令，則t≥1，有k²=t²-1，
S==
在[1，+∞）上為單調遞增函數(shù)，∴當t=1，即k=0時，S有最小值．
點評：本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．常需要把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理解決問題．