Question

9．在“一帶一路”的建設(shè)中，中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán)，集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了幾口井，取得了地質(zhì)資料．進(jìn)入全面勘探時(shí)期后，集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來布置井位進(jìn)行全面勘探．由于勘探一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費(fèi)用．勘探初期數(shù)據(jù)資料下表：

井號(hào) I	1	2	3	4	5	6
坐標(biāo)（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（1）在散點(diǎn)圖中1～6號(hào)舊井位置大致分布在一條直線附近，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸線方程為y=6.5x+a，求a，并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7（1，25），若通過1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的$\hat b，\hat a$的值（$\hat b，\hat a$精確到0.01）相比于（1）中b，a的值之差（即：$\frac{\hat b-b}，\frac{\hat a-a}{a}$）不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打井，請(qǐng)判斷可否使用舊井？（參考公式和計(jì)算結(jié)果：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x，\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2}=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}$）
（3）設(shè)出油量與鉆探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，在原有井號(hào)2～6的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程，
計(jì)算x=1時(shí)y的值即可；
（2）計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，計(jì)算$\frac{\hat b-b}，\frac{\hat a-a}{a}$，即可得出結(jié)論；
（3）用列舉法求基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）因?yàn)?\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（30+40+60+50+70）=50，
回歸直線必過樣本中心點(diǎn)$（{\overline x，\overline y}）$，
則$a=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$，
故回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當(dāng)x=1時(shí)，y=6.5+17.5=24，即y的預(yù)報(bào)值為24；
（2）因?yàn)?\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+5+8+1）=4
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（30+60+70+25）=46.25
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{2i-1}}^{2}$=94$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1•y_2i-1=945，
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}-4\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{945-4×4×46.25}{{94-4×{4^2}}}≈6.83$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=46.25-6.83×4=18.93$，
即$\hat b=6.83，\hat a=18.93，b=6.5，a=17.5$，
∴$\frac{\hat b-b}≈5%，\frac{\hat a-a}{a}≈8%$，均不超過10%，
因此可以使用位置最接近的已有舊井6（1，24）；
（3）由題可知：3，5，6這3口井是優(yōu)質(zhì)井，2，4這2口井為非優(yōu)質(zhì)井，
由題意從這5口井中隨機(jī)選取3口井的可能情況有：
（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），
（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共有10種，
其中恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的有
（2，3，5），（2，3，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），6種，
所以所求恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的概率是$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程與列舉法求古典概型的概率問題，是綜合題．