在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知|
OP
|：|
PA
|=1：2，|
OQ
|：|
QB
|=3：2，連接AQ、BP，設(shè)它們交于點R，若
OA
=
a
，
OB
=
b
．
（Ⅰ）用
a
與
b
表示
OR
；
（Ⅱ）過R作RH⊥AB，垂足為H，若|
a
|=1，|
b
|=2，
a
與
b
的夾角θ∈[
π
3
，
2π
3
]，求
|
BH|
|
BA|
的范圍．
（I）由
OA
=
a
，點P在邊OA上且|
OP
|：|
PA
|=1：2，
可得
OP
=
1
2
（
a
-
OP
），
∴
OP
=
1
3
a
．同理可得
OQ
=
3
5
b
．（2分）
設(shè)
AR
=λ
AQ
，
BR
=μ
BP
(λ，μ∈R)，
則
OR
=
OA
+
AR
=
OA
+λ
AQ
=
a
+λ(
3
5
b
-
a
）=（1-λ）
a
+
3
5
λ
b
，
OR
=
OB
+
BR
=
OB
+μ
BP
=
b
+μ(
1
3
a
-b）=
1
3
μ
a
+（1-μ）
b
．（4分）
∵向量
a
與
b
不共線，
∴
1-λ=
1
3
μ
3
5
λ=1-μ
解得λ=
5
6
，μ=
1
2

∴
OR
=
1
6
a
+
1
2
b
．（5分）
（II）設(shè)
|
BH|
|
BA
|
=γ，則
BH
=γ
BA
=γ（
a
-
b
），
∴
RH
=
BH
-
BR
=
BH
-(
OR
-
OB
)=γ（
a
-
b
）-（
1
6
a
+
1
2
b
）+
b
=(γ-
1
6
)
a
+（
1
2
-γ)
b
．（6分）
∵
RH
⊥
BA
，
∴
RH
•
BA
=0，
即[(γ-
1
6
)
a
+（
1
2
-γ)
b
]•（
a
-
b
）=0(γ-
1
6
)
a
2+（
1
2
-γ)
b
2+(
2
3
-2γ)
a
•
b
=0（8分）
又∵|
a
|=1，|
b
|=2，
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ=2cosθ，
∴(γ-
1
6
)+4(γ-
1
2
)+(
2
3
-2γ)(2cosθ)=0
∴γ=
1
6
×
13-8cosθ
5-4cosθ
=
1
6
(
3
5-4cosθ
+2)．（10分）
∵θ∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴cosθ∈[-
1
2
，
1
2
]，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴
1
6
(
3
7
+2)≤γ≤
1
6
(
3
3
+2)，即
17
42
≤γ≤
1
2
．
故
|
BH|
|
BA|
的取值范圍是[
17
42
 ， 
1
2
]．（12分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知|
OP
|：|
PA
|=1：2，|
OQ
|：|
QB
|=3：2，連接AQ、BP，設(shè)它們交于點R，若
OA
=
a
，
OB
=
b
．
（Ⅰ）用
a
與
b
表示
OR
；
（Ⅱ）過R作RH⊥AB，垂足為H，若|
a
|=1，|
b
|=2，
a
與
b
的夾角θ∈[
π
3
，
2π
3
]，求
|
BH|
|
BA|
的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分14分)

在△OAB的邊OA,OB上分別有一點P,Q,已知:＝1:2, :＝3:2,連結(jié)AQ,BP,設(shè)它們交于點R,若＝a，＝b.

   (1)用a與 b表示；

   (2)過R作RH⊥AB,垂足為H,若| a|＝1, | b|＝2, a與 b的夾角的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q,已知:＝1:2, :＝3:2,連結(jié)AQ、BP,設(shè)它們交于點R,若＝a，＝b.   （Ⅰ）用a與 b表示；

   （Ⅱ）過R作RH⊥AB,垂足為H,若| a|＝1, | b|＝2, a與 b的夾角的范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設(shè)線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。

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同步練習冊答案